洛南高校附属中学校２０１４年算数第１問（３）
- 計算問題 計算の工夫 平均
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次の□にあてはまる数を答えなさい。
（６７８＋７８９＋８９６＋９６７）÷（１２３＋２３４＋３４１＋４１２）＝□
洛南で何回も出題されているパターンの計算問題で、暗算で答えが出せる問題です。
６７８＋７８９＋８９６＋９６７の部分ですが、百の位も十の位も一の位も６、７、８、９が１回ずつ登場していますね。
そこで、平均を利用して計算します。平均は、７．５なので、７．５×４×１１１となります。
同様に、１２３＋２３４＋３４１＋４１２の部分は、２．５×４×１１１となります。
したがって、
□
＝（７．５×４×１１１）÷（２．５×４×１１１）
＝７．５÷２．５
＝３
となります。
なお、次のようにすることもできます。
□
＝｛（６＋７＋８＋９）×１１１｝/｛（１＋２＋３＋４）×１１１｝ ←分母・分子がこのようになることは、筆算を思い浮かべればすぐにわかります。
＝３０/１０
＝３
（参考問題）
３、４、５、６、７のうち３個の数を並べてできる３桁の数を全部加えるといくつになりますか。
（解説）
平均を利用して解きます。
できるすべての整数の個数は
５×４×３ ←順列ですね。
＝６０個
です。
できる数の平均は明らかに５５５ですね。 ←各位の平均が、３、４、５、６、７の平均が５（真ん中の数）になることは明らかですね。
したがって、できるすべての整数の和は
５５５×６０ ←平均×個数＝総和
＝３３３００
となります。
なお、次のようにすることもできます。
一の位に、３の数字は
４×３
＝１２回
出てきますね。
同様に、一の位に４～７の数字がそれぞれ１２回ずつ出てきます。 ←３～７の数字は条件的に同じだからです（条件の対等性）。
十の位、百の位も同様に、３～７の数字がそれぞれ１２回ずつ出てきますね。 ←各位は条件的に同じだからです（条件の対等性）。
結局、各位に１～５の数字がそれぞれ１２回ずつ出てくるから、できるすべての整数の和は
（３＋４＋５＋６＋７）×１２×（１００＋１０＋１）
＝３００×（１００＋１０＋１）
＝３３３００
となります。
