神戸女学院中学部１９９２年算数１日目第１問（４）
- 速さ 平均の速さ
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Ａ町からＢ町まで２回往復しました。１回目は帰りの速さが行きの速さの１．５倍でした。２回目は行き帰りとも同じ速さで、１回目も２回目も往復にかかった時間は同じでした。２回目の速さは、１回目の行きの速さの何倍ですか。
１回目も２回目も往復にかかった時間は同じで、２回目は行きも帰りも速さが同じだから、１回目の往復の平均の速さと２回目の往復の速さは等しくなります。
Ａ町からＢ町までの道のりを[３]（あとで、１と１．５で割るから、３としました）とおき、１回目の行きと帰りの速さをそれぞれ、１、１．５とすると、往復の平均の速さ（２回目の速さ）は
[３]×２÷（[３]÷１＋[３]÷１．５） ←往復の平均の速さ＝往復の距離÷往復の時間
＝６/５
となるから、２回目の往復の速さ（往復の平均の速さ）は、１回目の行きの速さの
６/５（１．２）倍
となります。
なお、次のように、平均の速さが調和平均（逆数の平均の逆数）となることを利用してもいいでしょう。 ←平均の速さは相加平均（算術平均）ではなく、調和平均になります。
最初の行きの速さと帰りの速さをそれぞれ２、２×１．５＝３とします。すると、往復の平均の速さ（２と３の調和平均になります）は
（１/２＋１/３）×１/２
＝５/１２
の逆数１２/５となります。 ←最初から「和分の２積」を使うと、一気に求めることができます。
したがって、往復の平均の速さは、最初の行きの速さの
１２/５÷２
＝６/５倍
となります。
（参考）平均の速さと調和平均について
一般に、○と□の調和平均は
（１/○＋１/□）×１/２
＝ （□＋○）/（２×○×□）
の逆数
（２×○×□）/（○＋□） ←「和分の２積」
となります。
ある道を往復するのに行きは〇km/時の速さで進み、帰りは□km/時の速さで進んだときの平均の速さを求める場合に、道のり（片道）を１kmとすると、往復の道のりは１×２＝２kmで、行きの時間は１/〇時間、帰りの時間は１/□時間だから、平均の速さは２÷（１/〇＋１/□）となりますが、これは、（１/○＋１/□）×１/２の逆数に他ならないですね。
また、道のり（片道）を〇×□kmとすると、往復の道のりは〇×□×２kmで、行きの時間は〇×□/〇＝□時間、帰りの時間は〇×□/□＝〇時間だから、平均の速さは〇×□×２/（□＋〇）となりますが、これは「和分の２積」に他ならないですね。
