関西大学第一中学校２００４年算数第４問
- 数の性質 偶奇性 立方数
-
１辺が３cmの立方体が３４３個あります。
次の問いに答えなさい。
（１）全部の立方体を使って１つの大きな立方体をつくるとき、１辺の長さを求めなさい。
（２）大きさのちがう２つの立方体をつくり積み重ねました。このとき、１辺が３cmの立方体が２つ余りました。積み重ねた立体の高さを求めなさい。
見かけは立体図形の問題ですが、実質的には立体図形の問題ではないですね。
（１）
３４３＝７×７×７だから、大きな立方体の１辺の長さは、小立方体７個分の長さになります。 ←６×６×６＝２１６（この数字は覚えておきましょう）よりちょっと大きい奇数ということで、７がすぐに思いつきますね。
したがって、求める長さは
３×７ ←１辺の長さが３cmということに注意しましょう。この種の問題で１辺の長さが１cm以外の場合、出題者が受験生のケアレスミスを狙っていることがほとんどです。
＝２１cm
となります。
（２）
使った小立方体は
３４３－２
＝３４１個
ですね。
□×□×□＋△×△×△＝３４１（□＜△）となるような、整数□と△を求めればいいですね。
当たり前ですが、（１）で求めたものより小さい立方体になるので、□も△も７未満の整数となります。
偶奇性（ここでは、奇数＋偶数＝奇数、偶数＋偶数＝偶数、奇数＋奇数＝偶数、奇数×奇数×奇数＝奇数、偶数×偶数×偶数＝偶数）に着目すると、２つの立方体の１辺のうち、一方は、小立方体を奇数個、もう一方は、小立方体を偶数個積み上げたもになることがわかります。
あとは、調べるだけですね。
６×６×６＝２１６
５×５×５＝１２５
この時点で□＝５、△＝６と確定しますね。
したがって、求める高さは
３×（５＋６）
＝３３cm
となります。
過去に東大寺学園中学校で同様の問題が出されているので、ぜひ解いてみましょう。
（東大寺学園中学校１９９６年第５問）
一辺が５cmの立方体が２１６個あります。次の問いに答えなさい。
（１）全部の立方体をすきまなく積み重ねて、大きな立方体を一つ作りました。この大きな立方体の一辺は何cmですか。
（２）全部の立方体をすきまなく積み重ねて、それぞれ大きさが違う立方体を三つ作り、図のように積み重ねました。この立体の高さと、表面積を求めなさい。
（図は省略、３つの立方体を大きい順に下から積み重ねたものになります。）
(略解）
（１）
２１６＝６×６×６
５×６＝３０cm
（２）
２１６＝５×５×５＋４×４×４＋３×３×３
５×（５＋４＋３）＝６０cm
（５×５＋４×４＋３×３）×４＋５×５×２＝２５０
５×５×２５０＝６２５０cm2
