関西学院中学部１９９７年算数１日目第２問（２）
- 平面図形 面積 長さ 和と差の積＝２乗の差 和差算
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大小二つの正方形があり、辺の長さの差は７cmです。二つの正方形の面積の差が３８５cm2であるとき、大きい正方形の辺の長さは□cmとなります。
２つの面積の差が与えられているので、２つの正方形を図のように重ねて考えます。
２つの黄色の長方形（縦が７cm、横が小さい正方形の１辺）の面積は等しく、その面積は
（３８５－７×７）/２
＝１６８
＝７×２４cm2
だから、小さい正方形の１辺の長さは１４cmとなり、大きい正方形の１辺の長さは
２４＋７
＝３１cm
となります。
なお、和と差の積＝２乗の差を利用して、和差算に持ち込んで解くこともできます。 ←数学的な解き方になりますが・・・
大きい正方形の１辺の長さを□cm、小さい正方形の１辺の長さを○cmとします。
与えられた条件から
□－○＝７
□×□－○×○＝３８５
下の式は
（□＋○）×（□－○）＝３８５
となるので、
□＋○＝３８５/７＝５５
和差算を解くと、
□
＝（５５＋７）/２
＝３１
となります。
（参考）和と差の積＝２乗の差
１辺の長さが□、○（□＞○）の正方形を重ね合わせて考えます。
黄色の長方形の面積＋水色の長方形の面積は、左の図を見ると、□×□－○×○と表され、右の図を見ると、（□＋○）×（□－○）と表されるので、結局、（□＋○）×（□－○）＝□×□－○×○となります。
この面積を重ね合わせるという手法は、例えば、２０１６×２０１６－２０１５×２０１５という計算問題を解くときなどに役立ちます（浜学園や希学園などの中学受験塾でも取り扱われている解法です）。
