京都女子中学校２００８年Ｂ算数第２問（１）
- 数の性質 十進法
-
２けたの整数があります。この数は、十の位の数と一の位の数の和の７倍に等しくなります。また、十の位の数と一の位の数を入れかえた数はもとの数より１８だけ小さくなります。このとき、もとの整数は、□です。
十の位の数を○、一の位の数を△とします（○も△も１以上９以下の整数）。
○×１０＋△×１＝（○＋△）×７ ←例えば、十進数の３２というのは、３×１０＋２×１のことだから、十の位の数が○、一の位の数が△の数は左辺のようになります。
○×１０＋△×１＝○×７＋△×７ ←分配法則を利用しました。
○×３＝△×６ ←両辺から共通するものを取り除きました。
○＝△×２・・・① ←両辺の１/３を考えました。
○×１０＋△－（△×１０＋○）＝１８
○×９－△×９＝１８
（○－△）×９＝１８ ←（参考）を参照しましょう。
○－△＝２・・・②
①、②より
△×２－△＝２
△＝２
これと①より、○＝４となります。
したがって、もとの整数は４２となります。
（参考）
一般に、２桁の整数の十の位と一の位を入れ替えた数ともとの整数の差は９の倍数（入れ替えた数の差の９倍）となり、３桁の整数の百の位の数と一の位の数を入れ替えた数ともとの整数の差は９９の倍数（入れ替えた数の差の９９倍）となります。
２桁の整数の場合は、上の解答内で証明できているので、３桁の整数の場合を証明します。
３桁の整数の百の位の数を○、十の位の数を□、一の位の数を△とします（○も△も１以上９以下の整数、□は０以上９以下の整数）。
もとの整数が小さくない場合を考えれば十分なので、もとの整数が小さくない場合を考えます。
○×１００＋□×１０＋△×１－（△×１００＋□×１０＋○×１）
＝○×９９－△×９９
＝（○－△）×９９ ←分配法則の逆を利用しました。
