西大和学園中学校（女子中等部）２０１５年算数第１問（６）
- 数の性質 素因数分解 平方数 分配法則とその逆
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２０１５は、２０１５＝[ア]×[イ]×[ウ]と３つの異なる１より大きい整数の積で表すことができます。ただし小さい順に[ア]、[イ]、[ウ]となっています。２０１５から「[イ]の倍数」をひいた数が、８×８のように等しい整数の積になるような「[イ]の倍数」は[エ]通りあり、このときのひいた数の最大は[オ]、最小は[カ]となります。
２０１５を素因数分解します。
５）２０１５ ←一の位が５だから、５の倍数ですね。
１３） ４０３
３１
２０１５＝５×１３×３１だから、ア＝５、イ＝１３、ウ＝３１となります。 ←２０１５年の受験生なら、覚えているべきことです。
２０１５から１３×○（○は整数）をひいたとします。
２０１５－１３×○
＝１３×１５５－１３×○
＝１３×（１５５－○） ←分配法則の逆を利用しました。
が平方数になるということだから、１５５－○（１５５以下の整数ですね）が１３×平方数になればいいですね。
１５５÷１３
＝１１．・・・ ←上限チェック！
だから、１３×１×１、１３×２×２、１３×３×３の３組だけになり、エは３となります。
ひいた数が最大となるのは、１５５－○が最小となるとき、つまり、１３×１×１＝１３となるときだから、オは
１３×（１５５－１３）
＝２０１５－１６９ ←分配法則を利用しました。
＝１８４６
となり、ひいた数が最小となるのは、１５５－○が最大となるとき、つまり、１３×３×３＝１１７となるときだから、カは
１３×（１５５－１１７）
＝１３×３８
＝４９４
となります。
（参考）西暦の素因数分解
２０１６＝２×２×２×２×２×３×３×７
２０１７（素数）
２０１８＝２×１００９
２０１９＝３×６７３
２０２０＝２×２×５×１０１
２０２１＝４３×４７
２０２２＝２×３×３３７
２０２３＝７×１７×１７
２０２４＝２×２×２×１１×２３
２０２５＝３×３×３×３×５×５
２０２６＝２×１０１３
２０２７（素数）
２０２８＝２×２×３×１３×１３
２０２９（素数）
２０３０＝２×５×７×２９
