西大和学園中学校２０１９年算数第３問（４）
- 立体図形 回転体の体積
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図１のような底辺の長さが６cm、高さが４cmの二等辺三角形があります。
図１の二等辺三角形を図２のように組み合わせた図形Ｆについて考えます。
①図形Ｆを直線アの周りに１回転させてできる立体の体積は[ ]cm3となります。
②図形Ｆを直線イの周りに１回転させてできる立体の体積は[ ]cm3となります。
ただし、円周率は３．１４として計算し、円すいの体積は、（底面積）×（高さ）×１/３で求めることができます。
このレベルの問題であれば、立体の図をかかずに解けないといけません。
①
図形を１回転させているので、回転軸の片側に図形を集めます。
図形は左右対称だから、右半分だけ回転させ、それを２倍すればいいですね。 ←対称性を利用して作業を減らす！
黄色の長方形を回転させた図形は、底面が４cmの円、高さが３cmの円柱になり、水色の直角三角形を回転させた図形は、円柱と底面と高さが等しい円すいになり、２つの図形の体積比は３：１となります。
したがって、求める体積は
４×４×３．１４×３×（３＋１)/３×２
＝１２８×３．１４
＝３１４
＋ ６２．８
＋ ２５．１２
＝４０１．９２cm3
となります。
②
一般に、回転体の体積は回転軸方向に平行移動しても体積は変わりません。
そこで、１番上の三角形をピンク色の三角形の部分まで移動します。
この問題の場合、回転軸に対して左右対称なので、回転軸の片側に図形を集めるまでもないですね。
ピンク色の三角形、黄緑色の三角形、４色の三角形を合わせた三角形を回転させてできる立体は相似な円すいになり、相似比は１：１：２だから、体積比は（１×１×１）：（１×１×１）：（２×２×２）＝１：１：８となります。
結局、求める体積は、ピンク色の三角形を回転させたときにできる円すいの体積の８－１＝７倍となるから、
３×３×３．１４×４×１/３×７
＝８４×３．１４
＝２５１．２
＋ １２．５６
＝２６３．７６cm3
となります。
