大阪星光学院中学校２０１９年算数第１問（５）
- 場合の数 立体の色塗り 円順列 組合せ
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右の図の正六角柱の８つの面を、８色の絵の具のうちの何色かを使って塗（ぬ）ることを考えます。隣（とな）り合う面は異なる色を使い、また回転したりひっくり返したりして同じ塗り方になるものは同じとみなします。このとき、８色すべてを使って塗る方法は、[ ]通りあり、８色から異なる３色を選んで塗る方法は[ ]通りあります。
（もともとの問題文にあった図は不要なので、省略しています。）
数学の問題をそのまま出しましたという感じの問題です。
（前半）
まず、底面の面の塗り方は
（８×７）/（２×１） ←上下をひっくり返したものは同じなので、８色から２色選べば、底面の色の塗り方が決まりますね。
＝２８通り
あり、そのそれぞれに対して、側面の色の塗り方は
６×５×４×３×２×１/６ ←６色を並べたとき、回転して同じものが６通りあるので、重複度で割りました（円順列）。なお、側面の１つに特定の色をまず塗り（固定し）、残りの色を塗ると考えて、５×４×３×２×１＝１２０通りとしてもよいでしょう。
＝１２０通り
あるから、色の塗り方は
２８×１２０
＝３３６０通り
あります。
（後半）
使う色の選び方は
（８×７×６）/（３×２×１）
＝５６通り
あります。
側面を塗るためには少なくとも２色必要なので、底面は同じ色を塗る必要があります。
その選び方は３通りあります。
側面は２色の色を交互に塗るしかないので、その塗り方は１通りあります。
したがって、色の塗り方は
５６×３×１
＝１６８通り
あります。
