四天王寺中学校２０１２年算数第２問①
- 立体図形 切頂二十面体 サッカーボール
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図のように、正五角形が１２個とその周りを囲むように正六角形が並んでいるサッカーボールのような立体があります。
（ア）正六角形は全部で何個ありますか。
（イ）この立体の辺は全部で何本ありますか。
有名問題で、昔灘中で出されたこともあります。
問題のサッカーボールのような立体は、切頂二十面体と呼ばれる立体です。
切頂二十面体というのは、正二十面体（面の数は２０個、辺の数は３０本、頂点の数は１２個）の各頂点を切り落としてできる立体です（各辺を３等分する点で切り落とします）。
このことを知識として知っていれば、正六角形の個数は正二十面体の面の個数と一致するから、（ア）が２０個となることは一瞬でわかります。
また、正二十面体の１つの頂点を切り落とすごとに辺が５本増えることから、（イ）は、３０＋５×１２＝９０本とすぐに求められます。
上のような知識がないものとして解くと次のようになります。
（ア）
問題文の図より、正五角形の各辺のところに必ず正六角形が１つあり、それぞれの正六角形は３個の正五角形で共有されています。
立体の したがって、正六角形は全部で
１２×５/３ ←正六角形をあえてダブらせて数えて、後で調整します（重複度で割ります）。
＝２０個
あります。
（イ）
問題の立体の各辺は必ず２つの多角形で共有されています。
したがって、問題の立体の辺は全部で
（５×１２＋６×２０）/２ ←多角形のすべての辺をあえてダブらせて数えて、後で調整します（重複度で割ります）。
＝９０本
あります。
問題では問われていませんが、頂点の数を求めてみます。
問題の各頂点は必ず３つの多角形で共有されています。
したがって、問題の立体の頂点は全部で
（５×１２+６×２０）/３ ←多角形のすべての頂点をあえてダブらせて数えて、後で調整します（重複度で割ります）。
＝６０個
あります。
なお、オイラーの多面体定理（面の数＋頂点の数－辺の数＝２）を利用すれば、面の数、辺の数、頂点の数のいずれか２つのものが求まれば、残り１つのものを求めることができます。
