西大和学園中学校２０１７年算数第１問（４）
- 場合の数 順列 平均
-
０、１、２、７の４個の数字で作られる４桁（けた）の整数は全部で[① ]通りあります。（ただし、同じ数字は２度以上使わないものとします。）また、それらすべての和は[② ]となります。
（解法１）
千の位の数が０以外の３通りあり、そのそれぞれに対して百の位の数が千の位の数以外の３通りあり、そのそれぞれに対して十の位の数が千の位の数と百の位の数以外の２通りあり、そのそれぞれに対して、一の位の数が残った数の１通りあるから、４桁の整数は全部で
３×３×２×１
＝１８個
あります。
千の位の数の平均が
（１＋２＋７）/３
＝１０/３
で、それ以外の位の数の平均が
｛０×６＋（１＋２＋７）×４｝/１８
＝２０/９
だから、４桁の整数の総和は
（１０/３×１０００＋２０/９×１１１）×１８ ←総和＝平均×個数
＝６００００＋４４４０
＝６４４４０
となります。
（解法２）
デジタル表示の４桁の整数の個数から、千の位の数が０の４桁の整数の個数、つまり３桁の整数の個数を引いて求めます。
４桁の整数は
４×３×２×１－３×２×１ ←単なる順列ですね。
＝２４－６
＝１８個
となります。
デジタル表示の４桁の整数の各位の数の平均が
（０＋１＋２＋７）/４
＝５/２
で、３桁の整数の各位の数の平均が
（１＋２＋７）/３
＝１０/３
だから、４桁の整数の総和は
５/２×１１１１×２４－１０/３×１１１×６
＝６６６６０－２２２０
＝６４４４０
となります。
