甲陽学院中学校２００５年算数１日目第１問（２）
- 速さ 平均の速さ
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あるジョギングコースがあります。太郎君と次郎君の２人が同時にスタート地点を出発しました。太郎君は全コースの最初の半分の道のりを時速１２kmで走り、残りの道のりを時速１０kmで走りました。次郎君は、最初時速１２kmで走り、２０分走るごとに時速１kmずつ減速して走りました。太郎君と次郎君は同時にゴールし、次郎君がゴールしたときの速さは時速９kmでした。このジョギングコースは[ ]kmあります。
様々な解法が考えられますが、ここでは平均の速さを利用して解きます。
全コースの半分の道のりを[６０]とすると、太郎君の平均の速さは
[６０]×２÷（[６０]/１２＋[６０]/１０）
＝１２０/１１km/時
となります。
次郎君は最初の２０×３＝６０分間＝１時間で
（１２－１２０/１１）×２０/６０＋（１１－１２０/１１）×２０/６０－（１２０/１１－１０）×２０/６０
＝（１２＋１－１０）/１１×１/３
＝１/１１km
リードし、このリードを９km/時の速さのときに失うから、９km/時の速さで
１/１１÷（１２０/１１－９）
＝１/２１時間
走ったことになります。
したがって、ジョギングコースは
１２０/１１×（１＋１/２１） ←太郎君のほうで計算したほうが楽でしょう。
＝１２０/１１×２２/２１
＝８０/７km
となります。
なお、平均の速さは、調和平均（逆数の（算術）平均の逆数）となることを利用して、（１/１２＋１/１０）×１/２＝１１/１２０の逆数１２０/１１km/時としてもよいでしょう。
