西大和学園中学校２０１８年算数第２問（３）
- 立体図形 切頂四面体 正八面体 正四面体 正四角すい
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１辺の長さが４cmの正四面体があります。各辺の上にあり、１つの頂点から１cmはなれた３つの点を通る平面で正四面体を切り、正四面体の頂点をふくむ同じ大きさの立体を４つとりのぞきます。残った立体は、面の数が[①]、辺の数が[②]、頂点の数が[③]となります。
この程度の問題であれば、頭の中で図をイメージできないといけません。
正四面体は、面が４個、辺が６本、頂点が４個あります。
残った立体（切頂四面体）と正四面体を比べます。
残った立体は、面の数は４個増えて８個となり、辺の数は３×４＝１２本増えて１８本となり、頂点の数は（３－１）×４＝８個増えて１２個となります。
なお、オイラーの多面体定理（頂点の数＋面の数－辺の数＝２）を用いれば、検算できますね。
また、この問題の１cmを２cmになおすと、残った立体は正八面体（切り取った正四面体と辺の長さが同じ）となり、辺の長さが同じ正四面体と正八面体と正四角すいの体積比が（１×１×１）：（２×２×２－１×１×１×４）：（２×２×２－１×１×１×４）/２＝１：４：２となることと正四面体とその中にぴったり入る正八面体の体積比が８：４＝２：１となることがすぐにわかります。このこともしっかり押さえておきましょう（このことをしっかり押さえておけば、例えば、西大和学園中学校２０２１年算数第２問（４）などが一瞬で解けます）。
