西大和学園中学校２０２０年算数第３問（３）
- 平面図形 平行四辺形の４分割 相似 面積
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下の図のように１辺の長さが１２cmの正方形ＡＢＣＤがあります。また、４点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓは、それぞれＡＤ、ＰＣ、ＱＢ、ＲＡの真ん中の点で、点ＴはＳＤとＰＣが交わった点とします。このとき、三角形ＡＢＲの面積は[ ]cm2であり、四角形ＱＲＳＴの面積は[ ]cm2です。
算数オリンピック２００６年トライアル第５問の数値変更問題（正方形の１辺の長さを８cmから１２cmに変更したもの）になります。
一般に、下の図のように、平行四辺形の内部に１つの点をとると、平行四辺形は４つの三角形に分けられますが、黄色の三角形の面積の和も黄緑色の三角形の面積の和も平行四辺形の面積の半分となります。
このことと「三角形の底辺一定⇒面積比＝高さの比」をフルに活用して解きます。
複雑な補助線は不要で、三角形ができるように頭の中で補助線をイメージすればよいでしょう。
三角形ＣＤＰの面積・・・１２×６×１/２＝３６cm2
三角形ＣＤＱの面積・・・３６×１/２＝１８cm2
三角形ＡＢＱの面積・・・１２×１２×１/２－１８＝５４cm2
三角形ＡＢＲの面積・・・５４×１/２＝２７cm2
三角形ＢＣＱの面積・・・３６cm2 ←底辺が正方形の一辺で、高さが正方形の一辺の半分の長さだから、三角形ＣＤＰの面積と等しくなりますね。
三角形ＡＲＤの面積・・・７２－１８＝５４cm2
三角形ＡＳＤの面積・・・５４×１/２＝２７cm2
四角形ＡＳＴＰの面積・・・２７×（４－１）/４＝８１/４cm2 ←点ＡからＲに移動すると考えたとき、正方形の一辺の長さを⑧とすると、縦方向に⑧×３/４＝⑥移動し、横方向に（⑧－⑧×１/２×１/２）×１/２＝③移動しますが、これは点Ｐから点Ｃに移動するときの横方向と縦方向の比率１/２と一致しているからＡＲとＰＣは平行になります。三角形ＡＳＤと三角形ＰＴＤは相似（相似比は２：１）だから、その面積比は（２×２）：（１×１）＝４：１となります。
したがって、四角形ＱＲＳＴの面積は
１２×１２－（３６＋３６＋２７＋８１/４）
＝９９/４cm2
となります。
