西大和学園中学校２０１９年東京・東海・岡山会場算数第２問（３）
- 平面図形 角度 二等辺三角形 合同
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図のような三角形ＡＢＣの辺ＡＢと辺ＡＣをそれぞれ一番長い辺とする直角三角形ＡＢＤと直角三角形ＡＣＥが三角形ＡＢＣの外側にあります。
また、点Ｍは辺ＢＣの真（ま）ん中の点です。このとき、角アの大きさを求めなさい。
答えだけを求めるのであれば、特別な場合（三角形ＡＢＣが辺ＡＢと辺ＡＣが等しい二等辺三角形である場合）を考えるとほんの数秒で解決しますが、まじめに解こうとすると算数オリンピックレベルの問題でしょう。
角アの大きさは、角イの大きさと等しいから、１８０－６８×２＝４４度となります。
まじめに解くと次のようになります。
一般に、直角三角形において、直角のところの頂点と直角の向かいの辺（斜辺）の真ん中の点を結ぶと、下の図のようになります。
このことは合同な直角三角形に着目してもわかりますし、直角三角形が斜辺を直径とする円に内接することからもわかります。
辺ＡＢ、ＡＣの真ん中の点をそれぞれ点Ｆ、Ｇとし、２点ＤとＦ、２点ＥとＧをそれぞれ直線で結び、上の知識を利用すると、角ＤＦＡの大きさと角ＡＧＥの大きさがともに（１８０－６８×２）/２＝４４度となることがわかります。
さらに、ピラミッド相似を作出するため２点ＦとＭ、２点ＧとＭをそれぞれ直線で結びます。
四角形ＡＦＭＧは平行四辺形となり、向かい合う辺と向かい合う角がそれぞれ等しくなります。
三角形ＤＦＭと三角形ＭＧＥは合同（２辺とその間の角がそれぞれ等しいから）となり、図の〇をつけた２つの角の大きさと×をつけた２つの角の大きさがそれぞれ等しくなります。
平行四辺形の隣り合う２つの角の大きさの合計は１８０度だから、☆と〇と×とアの合計は１８０度となります。
また、三角形ＤＦＭの内角の和に着目すると、☆と〇と×と４４度の合計は１８０度となります。
したがって、アは４４度となります。
