須磨学園中学校２０２２年第３回算数第２問（４）
- 数の性質 約数の個数 平方数 計算の工夫
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１以上の整数Ｎに対して、＜Ｎ＞は以下のような数を表します。
Ｎの１以上の約数の個数が奇数（きすう）個であるとき、＜Ｎ＞＝０
Ｎの１以上の約数の個数が偶数（ぐうすう）個であるとき、＜Ｎ＞＝１
このとき、＜１＞＋＜２＞＋＜３＞＋・・・・・・＋＜２０２１＞＋＜２０２２＞＝□です。
約数の個数が奇数個の整数は平方数ですね。 ←約数をペアで書き出していくことをイメージすればすぐにわかることですね。
結局のところ、１以上２０２２以下の整数のうち平方数でないものの個数を求める問題にすぎません。
２０２２以下の最大の平方数を探すことになりますが、４５×４５＝２０２５＞２０２２＞４４×４４（＝４５×４５－４５－４４）だから、□は２０２２－４４＝１９７８となります。
この問題を逆算させる問題（＜１＞＋＜２＞＋＜３＞＋・・・・・・＋＜△＞＝５００にあてはまる△を求めなさい。）もぜひ解いてみましょう。
表記は異なりますが、アメリカ数学選抜試験（ＡＩＭＥ）に出されたことがある問題で、５００あたりの平方数で見当をつければ簡単に答え（５２２）が求められます。
（参考）〇△×〇□（△＋□＝１０）の計算について
（〇×１０＋△）×（〇×１０＋□）
＝〇×〇×１００＋〇×１０×（△＋□）＋△×□ ←面積図を思い浮かべればこのようになることがすぐにわかります。
＝〇×〇×１００＋〇×１００＋△×□ ←△＋□＝１０を利用しました。
＝〇×（〇＋１）×１００＋△×□ ←分配法則の逆を利用しました。面積図を思い浮かべてもわかりますね。
となるから、〇×（〇＋１）を百の位のところに配置し、△×□を下２桁のところに配置すれば計算できることになります。
例えば、３６×３４であれば、３×（３＋１）＝１２、６×４＝２４だから、１２２４となり、４５×４５であれば、４×（４＋１）＝２０、５×５＝２５だから、２０２５となります。
