帝塚山学院中学校２０２２年Ａ算数第４問
- 規則性 群数列 等比数列 等比数列の和
-
次のように、ある規則にしたがって数が並んでいます。
１，１，２，１，２，４，１，２，４，８，１，２，４，８，１６，１，……
①最初から数えて３０番目の数は何ですか。
②１１番目から３０番目までの数をすべて足すといくつになりますか。
心の中で数を唱えていけば次のような決まりがすぐに見つかるはずです。
１|１，２|１，２，４|１，２，４，８|１，２，４，８，１６|１，……
群数列の問題ですね。
グループごとに縦に並べます。
その際、各グループの個数をチェックします。
[１]１ １個
[２]１，２ ２個
[３]１，２，４ ３個
[４]１，２，４，８ ４個
[５]１，２，４，８，１６ ５個
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
[□]１，２，４，・・・・・・，２×２×・・・×２（２を（□－１）個かけた数） □個
①
３０＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８２
だから、３０番目の数は[８]グループの２番目の数、つまり２となります。
②
１１番目から３０番目までの数の和は、[５]グループの最初の数から[８]グループの２番目までの数の和となるから、
（１＋２＋４＋８＋１６）＋（１＋２＋４＋８＋１６＋３２）＋（１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４）＋（１＋２）
＝１６×２－１＋３２×２－１＋６４×２－１＋２×２－１
＝３２＋６４＋１２８＋４－４
＝２２４
となります。
なお、（ ）内の計算はトーナメントの参加チーム数と試合数の知識を利用して解きました。例えば、１６チーム参加したときの全試合数は、負けチームの数、つまり１６－１＝１５試合ですが、トーナメントの例として１回戦８試合、２回戦４試合、３回戦２試合、決勝戦１試合の場合を考えれば、合計８＋４＋２＋１＝１５試合となりますね。
なお、等比数列の和の求め方を利用することもできます。
（参考）等比数列の和について
Ｓ×２＝ ２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８
－）Ｓ ＝１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４ _
Ｓ ＝１２８－１＝１２７
次のイメージ図も参照しましょう。
〇×□□◎◎◎◎●●●●●●●●
☆☆□□◎◎◎◎●●●●●●●●
△△△△◎◎◎◎●●●●●●●●
△△△△◎◎◎◎●●●●●●●●
◇◇◇◇◇◇◇◇●●●●●●●●
◇◇◇◇◇◇◇◇●●●●●●●●
◇◇◇◇◇◇◇◇●●●●●●●●
◇◇◇◇◇◇◇◇●●●●●●●●
１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４
＝６４×２－１
＝１２７
