西大和学園中学校２０２４年東京・東海会場算数第１問（４）
- 平面図形 相似 面積比 等分割ピラミッド
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大きさの等しい白い正方形１３枚と黒い正方形１２枚を組み合わせて、図のような大きな正方形をつくりました。点ＡからＨはそれぞれ小さな正方形の頂点です。
四角形ＡＢＣＤの中において、黒い部分の面積Ｂ1と白い部分の面積Ｗ1の比はＷ1/Ｂ1＝[あ]です。また、四角形ＡＢＣＤと四角形ＥＦＧＨが重なる部分において、黒い部分の面積Ｂ2と白い部分の面積Ｗ2の比はＷ2/Ｂ2＝[い]です。
（前半について）
図１の部分について考えることになります。
たくさんあるピラミッド相似を利用します（図２）。 ←いわゆる等分割ピラミッドの処理です。最難関中学校の受験生であれば結果を覚えているはずですね。
相似比は
１：２：３：４
だから、面積比は
１×１：２×２：３×３：４×４
＝ ① ： ④ ： ⑨ ： ⑯
差③ 差⑤ 差⑦
大きな正方形を構成する２５枚の小正方形１枚の面積を①＋⑦＝⑧とします。
Ｗ1：Ｂ1
＝｛（①＋⑤）×４＋⑧×５｝：｛（③＋⑦）×４＋⑧×４｝
＝６４：７２
＝８：９
だから、Ｗ1/Ｂ1＝８/９となります。
（後半について）
図３の部分について考えることになります。
Ｂ2は（前半について）の説明からすぐに求められますね。
そこでＢ2とＷ2の合計を求める解法（灘中学校２０１３年算数１日目第９問と神戸女学院中学部２０２３年算数第６問の解答・解説を参照）も考えられますが、ここでは、Ｗ2に直接アプローチする解法で解きます。
高さの等しい三角形の面積比が底辺の長さの比と一致することを利用すると、図４のような面積比となり、小正方形１枚の面積は（[３]＋[１]＋[１]）×２×４＝[４０]となり、⑧＝[４０]となります。
水色の部分１個の面積は、図５のように等分割ピラミッドに持ち込むと、小正方形の面積の（９＋９）/（１＋３＋１３＋１５）＝９/１６倍となることがすぐにわかります。
したがって、
Ｗ2：Ｂ2
＝（[１]×２×４＋[４０]×９/１６×４＋[４０]×５）：（[４０]×③/⑧×８＋[４０]×４）
＝[２９８]：[２８０]
＝１４９：１４０
だから、Ｗ1/Ｂ1＝１４９/１４０となります。
