西大和学園中学校２０２４年算数第１問（３）
- 平面図形 斜めの正方形
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正方形ＡＢＣＤがあり、西さんは図１のように、正方形ＡＢＣＤの辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡを３：１に分ける点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈをとり、ＥＦ、ＦＧ、ＧＨ、ＨＥを結びました。大和さんは図２のように、正方形ＡＢＣＤの内側に同じ大きさの正方形６つを入れました。ただし、４点Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌは小さな正方形の頂点で、それぞれ正方形ＡＢＣＤの辺上にあります。三角形ＥＢＦの面積が７２cm2であるとします。
（ⅰ）正方形ＡＢＣＤの面積は[あ]cm2です。
（ⅱ）ＩＢの長さとＢＪの長さの比ＩＢ/ＢＪは[い]です。
（ⅲ）図２の小さな正方形１つの面積は[う]cm2です。
メインの問題は日本数学オリンピック（ＪＭＯ）の２００１年予選第２問と実質的に同じ問題です。 昔からよく出されるタイプの問題です（神戸女学院中学部１９８７年２日目第７問など）。
（ⅰ）
「方眼紙」で求めるという方針で解きます。
正方形ＡＢＣＤを図のように小正方形１６個に分けると、小正方形３個分の面積が７２×２＝１４４cm2となるから、正方形ＡＢＣＤの面積は１４４×１６/３＝７６８cm2となります。
（ⅱ）
与えられた図形は点対称図形ですね。
点対称の中心を点Ｍとし、ＩＢ、ＢＪの長さをそれぞれ〇、△とします。
点Ｂから点Ｍまで辺ＡＢ方向と辺ＢＣ方向の移動のみで移動すると考えると、図の黄色の直角三角形はすべて合同だから、辺ＡＢ方向に△＋△、辺ＢＣ方向に△＋〇＋〇移動することになります。 辺ＡＢ方向の移動と辺ＢＣ方向の移動は等しい（ちょうど正方形ＡＢＣＤの一辺の長さの半分だけ移動していますね）から、△＋△＝△＋〇＋〇となり、△＝〇×２となります。
したがって、ＩＢ/ＢＪ＝１/２となります。
（ⅲ）
〇＝①とすると、△＝②となり、正方形ＡＢＣＤの一辺の長さは（②＋②）×２＝⑧となるから、正方形一辺の長さが③の正方形の面積は７６８×（３×３）/（８×８）cm2となります。
図の水色の三角形（図２の小さな正方形）について、（ⅰ）と同じ処理をする（「斜めの正方形」を「水平な正方形」の中に入れて処理するのは、最難関中学校の受験生であれば、誘導がなくてもできないといけません）と、求める面積は
７６８×（３×３）/（８×８）×（３×３－２×２）/（３×３）
＝６０cm2
となります。
