甲陽学院中学校２０２４年算数１日目第１問（２）
- 平面図形 面積比 相似
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右の図のように、長方形と２つの合同な二等辺三角形をならべると、斜（しゃ）線部分の面積が長方形の面積の１/５倍になりました。アの長さはイの長さの[ ]倍です。ただし、〇印のついた辺は同じ長さです。
（斜線部分とは、かげをつけた部分になります。）
正方形と正三角形を組み合わせた図形（図１）において、かげをつけた三角形の面積は正方形の面積の１/４倍となります。
正方形の右側の辺を三角形の底辺と考えたとき、対称性により、高さが正方形の一辺の長さのちょうど半分となるからです（わざわざ角度を書き込んで、いわゆる３０度問題（１５０度問題）に持ち込む必要はありません）。
このことは、長方形と二等辺三角形を組み合わせた図形（図２（本問））でも成り立ち、三角形ＡＢＦの面積は長方形の面積の１/４倍となり、三角形ＡＣＦの面積：三角形ＡＢＦの面積＝１/５：１/４＝４：５となります。
三角形ＡＣＦと三角形ＡＢＦは高さが等しいから、底辺の比ＡＣ：ＡＢ＝４：５となります。
また、与えられた図は上下対称だから、ＣはＢＤの真ん中の点となり、ＡＤ：ＤＢ＝３：２となります。
三角形ＡＥＤと三角形ＢＦＤは相似（相似比はＡＤ：ＢＤ＝３：２）だから、アの長さはイの長さの３/２倍となります。
