西大和学園中学校２０２４年算数第３問（２）
- 平面図形 相似 面積比
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大きさの等しい白い正三角形１５枚と黒い正三角形１０枚を組み合わせて、図のような大きな正三角形をつくりました。点ＡからＦはそれぞれ小さな正三角形の頂点です。
（ⅰ）三角形ＡＢＣの中で、黒い部分の面積Ｂ1と白い部分の面積Ｗ1の比はＷ1/Ｂ1＝[あ]です。
（ⅱ）三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＦが重なる部分において、黒い部分の面積Ｂ2と白い部分の面積Ｗ2の比はＷ2/Ｂ2＝[い]です。
（ⅰ）
三角形ＡＢＣの面積は、小さな正三角形５×５－４×１×３＝１３個分になります。
黄色の三角形はすべて相似（相似比は、小：中：大＝１：２：３）だから、面積比は、小：中：大＝１×１：２×２：３×３＝１：４：９となります。 ←大きな視野で見るとピラミッド相似の存在に気付くので、そこから相似比がわかります。
この中で大きな三角形の面積は、小さな正三角形３/（１＋３）＝３/４個分だから、Ｗ1は、小さな正三角形３＋３/４×（１＋４＋９）/９×３＝１３/２個分となり、Ｗ1/Ｂ1＝１となります。
（ⅱ）
（ⅰ）同様、大きな視野で見るとピラミッド相似とちょうちょ相似が見つかるので、以下、底辺の長さの比×高さの比を利用して、色を付けた図形が小さな正三角形何個分になるかを求めるだけです。
その際、三角形同士を比べるようにするのがポイントです。
同じような作業の繰り返しで面倒なだけなので、簡略化して書きます。
オレンジ色＋水色・・・１×２/３＝２/３個分
オレンジ色・・・１/２×２/５＝１/５個分
水色・・・２/３－１/５＝７/１５個分
黄緑色・・・１/２×１/３＝１/６個分
ピンク色＋青色・・・１×１/３＝１/３個分
青色・・・１/２×２/９＝１/９個分
ピンク色・・・１/３－１/９＝２/９個分
茶色・・・１－１/６＝５/６個分 ←茶色＋黄緑色が１個分だからです。
したがって、Ｂ2は、１＋（７/１５＋１/６）×３＝２９/１０個分となり、Ｗ2は（２/９＋５/６）×３＝１９/６個分となるから、Ｗ2/Ｂ2＝１９/６÷２９/１０＝１９/６×１０/２９＝９５/８７となります。
