灘中学校２０２４年算数１日目第３問
- 文章題（集合算） 倍数条件
-
ある学校の生徒に、Ａ、Ｂ、Ｃの３つの町に行ったことがあるかどうかの調査をしたところ、Ａ、Ｂ、Ｃに行ったことがある生徒の割合はそれぞれ全体の２/７、５/１４、１/９でした。ＡとＢの両方に行ったことがある生徒の割合は全体の１/４でした。また、Ｃに行ったことがある生徒は全員、ＡにもＢにも行ったことがありませんでした。Ａ、Ｂ、Ｃのどの町にも行ったことがない生徒は９９９人以下でした。
Ａ、Ｂ、Ｃのどの町にも行ったことがない生徒の人数として考えられるもののうち最も多いものは[ ]人です。
以下、Ａ、Ｂ、Ｃに行ったことがある生徒をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ、行ったことがない生徒を「以外」をつけて表記します。
１つ目の文と２つ目の文を読んだ時点では、３つの集合の問題で、３つのヴェン図（もしくは３つの集合のキャロル表）をかく必要があって、受験生は時間の面で足止めを食らう問題（（参考問題）を参照）かなと思いましたが、３つ目の文を読んで驚かされました。
Ｃには、ＡとＢの重なりがないのだから、この問題は、ヴェン図をかくとしても、３つのヴェン図の問題でなく、２つのヴェン図の問題にすぎません。
灘中の受験生なら、わざわざ２つのヴェン図をかくまでもないでしょう。
全生徒数を[２５２]人とします。 ←あとで２/７、５/１４、１/９、１/４倍するので、無用な分数を避けるため、７、１４、９、４の最小公倍数でおきました。
Ｃ以外の生徒は[２５２]－[２５２]×１/９＝[２２４]人となります。
以下、Ｃ以外の生徒だけ考えればいい（[２２４]人を集合の全体と考えればいい）ですね。
ＡまたはＢの生徒は
[２５２]×２/７＋[２５２]×５/１４－[２５２]×１/４
＝[７２]＋[９０]－[６３]
＝[９９]人
だから、Ａ以外で、しかもＢ以外の生徒（当然Ｃ以外ですね）は
[２２４]－[９９]
＝[１２５]人
となります。
全生徒数（[２５２]）は２５２の倍数で、[１２５]は１２５の倍数ですね。
９９９以下の最大の１２５の倍数は８７５だから、これが答えとなります。
なお、灘中学校では、過去に２つの集合で倍数条件を使う問題（灘中学校２０００年算数２日目第２問）が出されているので、ぜひ解いてみましょう。
因みに、文章題で整数条件を考える問題は神戸女学院で昔からよく出されてきた問題です。
例えば、神戸女学院中学部１９７６年算数１日目第５問（整数条件を使うことが問題文にちりばめられている問題）、神戸女学院中学部１９９０年算数１日目第２問（整数条件を使うことが問題文では隠されている問題）などがありますが、近年はさすがにこういう問題ではなく、整数条件を使う文章題としては、不定方程式の問題（条件不足のつるかめ算）が出されています。
（参考問題）灘中学校１９８８年１日目第８問
あるキャンプに集まった人達は、男の子どもは２７人、日本人の子どもは１５人、男のおとなは２７人、外国人の男の子どもは２１人、日本人は４２人、日本人の男は１８人、外国人の女は２１人であった。この人たちは全部で[ ]人である。
（答えは９９）
