東大寺学園中学校２０２４年算数第１問（３）
- 数の性質 最大公約数 互いに素
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４５との最大公約数が１となるような１以上の整数のうち、小さい方から３４５番目の数を求めなさい。
４５＝３×３×５だから、４５との最大公約数が１となる整数（４５と互いに素な整数）は３でも５でも割り切れない整数となります。
３の倍数は３個ごと、５の倍数は５個ごとに現れるので、１５（３と５の最小公倍数）個調べます。 ←個数だけを求めるのであれば、書き出さなくても１５×２/３×４/５＝８個と求めることはできますが・・・
３でも５でも割り切れない整数は
１、２、４、７、８、１１、１３、１４
の８個となります。
３４５÷８
＝４３・・・１
だから、求める数は
１５×４３＋１ ←４４セット目の１番目の数ですね。
＝６４６
となります。
因みに、１番目の数から３４５番目の数までの和を倍数の対称性に着目することで簡単に求めることができます。
３４４番目の数は６４６－２＝６４４だから、１番目の数から３４５番目の数までの和は（１＋６４４）×３４４/２＋６４６（計算省略）となります。
