海陽中等教育学校２０１８年特別給費算数第１問（１）
- 数の性質 レプユニット数 倍数判定法
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すべての位の数字が１である数を、Ａ（１）＝１、Ａ（２）＝１１、Ａ（３）＝１１１、……のように、１の個数を使って表すことにします。これらの数の中で
（あ）９の倍数となるものを１つ求め、記号Ａを使って表しなさい。
（い）３３の倍数となるものを１つ求め、記号Ａを使って表しなさい。
（う）１３の倍数となるものを１つ求め、記号Ａを使って表しなさい。
レプユニット数（各位の数がすべて１の整数）に関する問題です。
レプユニット数に関する問題は、東大入試（東京大学２００８年理科数学第５問）や筑駒の高校入試（筑波大学附属駒場高等学校２００５年数学第４問）で出されたことがあります。
（あ）
各位の数がすべて１の整数で９の倍数となるのだから、１が９の倍数個並んでいますね。 ←９の倍数判定法を利用しました。
したがって、最小のものはＡ（９）となります。 ←最小のものを求めることは要求されていないので、Ａ（１８）、Ａ（１１１１１１１１１）なども答えとなります。
（い）
３３＝３×１１だから、各位の数がすべて１の整数で３の倍数となり、しかも１１の倍数となるものを考えることになります。
まず、３の倍数という条件から、１が３の倍数個並んでいなければいけませんね。 ←３の倍数判定法を利用しました。
次に、１１の倍数という条件を考えます。
少し実験してみると、１が偶数個並んでいなければいけないことがわかります。 ←もちろん、１１の倍数判定法を利用すればすぐにわかりますし、１１のかたまりが並んでいることを考慮してもわかりますね。
結局、１が６の倍数個並んでいることになるから、最小のものはＡ（６）となります。 ←最小のものを求めることは要求されていないので、Ａ（１２）なども答えとなります。
（う）
１００１＝７×１１×１３ということを利用すればすぐに答えが求められます。
１００１×１１１＝１１１１１１は１３の倍数となるから、Ａ（６）が答えとなります。 ←最小のものを求めることは要求されていないので、確認する必要はありませんが、１、１１、１１１（３×３７）、１１１１（１１×１０１）、１１１１１（４１×２７１）は１３の倍数でないから、Ａ（６）が最小のものになります。なお、Ａ（１２）なども答えとなります。
