同志社国際中学校２０２４年算数第４問
- 数の性質 単位分数の和
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３つの異なる整数（あ）、（い）、（う）が
１１/１２＝１/（あ）＋１/（い）＋１/（う）
をみたしているとき、（あ）＋（い）＋（う）の値（あたい）をすべて求めなさい。
分数を単位分数（分子が１の分数）の和に分ける問題ですね。
中学入試だけでなく、高校入試や大学入試でも出される問題です。
すべて求める問題なので、
１１/１２
＝１/１２＋４/１２＋６/１２ ←１１を１２の約数３つの和に分解しました。
＝１/１２＋１/３＋１/２
というような解き方ではなく、大学入試でも通用するきっちりとした解き方で解きます。 （あ）＋（い）＋（う）の値だけを求めればいいから、（あ）＜（い）＜（う）と考えればいいですね。
１/（あ）＞１/（い）＞１/（う）となるから、
１１/１２＝１/（あ）＋１/（い）＋１/（う）＜１/（あ）＋１/（あ）＋１/（あ）＝３/（あ） ←上限チェック！機械的に式変形すると、上のようになりますが、異なる３つの数の和が１１/１２のとき、３つの数のうち最も大きいものは３つの数の平均（１１/１２×１/３＝１１/３６）を超えるという当たり前のことをチェックしただけです（以下同様）。
となり、１/（あ）＞１１/３６＝１/３．・・・となるから、（あ）は３．・・・未満の整数となります。（
（あ）が１となることは明らかにないから、（あ）は２か３となります。
（あ）が２のとき、１/（い）＋１/（う）＝１１/１２－１/２＝５/１２となります。
再び、先ほどと同じ処理をします。
５/１２＝１/（い）＋１/（う）＜１/（い）＋１/（い）＝２/（い）
となり、１/（い）＞５/２４＝１/４．・・・となるから、（い）は４．・・・未満の整数（ただし、２より大きい整数）となります。
（い）は３か４となりますね。
（い）が３のとき、１/（う）＝５/１２－１/３＝１/１２となり、（う）は１２となります。
また、（い）が４のとき、１/（う）＝５/１２－１/４＝１/６となり、（う）は６となります。
（あ）が３のとき、１/３＋１/４＋１/５＜４/１２＋３/１２＋４/１２＝１１/１２とだから、ありえませんね。
したがって、（あ）＋（い）＋（う）の値は、２＋３＋１２＝１７と２＋４＋６＝１２となります。
なお、次のようにすることもできます。
１１/１２に含まれる最大の単位分数が１/２のとき、残り２つの単位分数の和は
１１/１２－１/２
＝５/１２
＝１/２．４
となります。
これに含まれる最大の単位分数が１/３のとき、残り１つの単位分数は
５/１２－１/３
＝１/１２
となります。
５/１２に含まれる最大の単位分数が１/４のとき、残り１つの単位分数は
５/１２－１/４
＝１/６
となります。
５/１２に含まれる最大の単位分数が１/５（以下）のとき、１/５＋１/６＜３/１２＋２/１２＜５/１２だから、ありえませんね。
また、１１/１２に含まれる最大の単位分数が１/３（以下）のとき、１/３＋１/４＋１/５＜４/１２＋３/１２＋４/１２＝１１/１２だから、ありえませんね（以下略）。
