灘中学校２０２６年算数１日目第８問
- 平面図形 角度 正多角形 二等辺三角形
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右の図のように、正七角形の２本の対角線が交わる点と１つの頂点を直線で結びました。角(ア)の大きさは[ ]度です。
灘中の出題者が想定しているだろうなというセンスのいい解法がありますが、ここではそれとは異なる解法を紹介します。
正七角形の１つの外角は３６０/７度ですね。
１８０度を⑦とすると、これは⑦×２/７＝②となり、正七角形の１つの内角は⑤となります。
正多角形の線対称性から、図の同じ記号をつけた直線は平行で、平行線の錯角は等しいから、黄緑色の三角形の１つの角が②となります。
その隣の角は⑤－②＝③となります。
黄色の三角形と黄緑色の三角形を合わせた三角形は二等辺三角形だから、黄色の１つの角が（⑦－⑤）/２＝①となり、黄色の三角形の残りの１つの角は⑦－③－①＝③となり、黄色の三角形は二等辺三角形となります。
当然水色の三角形も二等辺三角形となりますね。
水色の二等辺三角形の頂角は⑤－①＝④となり、残りの角はともに（⑦－④）/２＝③/２となります。
結局、角（あ）は⑦－③－③/２＝⑤/２、つまり、１８０×１/⑦×⑤/２＝４５０/７度となります。
灘中の問題より簡単な問題になりますが、大阪星光学院中学校で正多角形がらみの角度の問題（大阪星光学院中学校２０１３年算数第４問）が過去に出されているのでぜひ解いてみましょう。
