南山中学校女子部２０２６年算数第１問（５）
- 数の性質 倍数 約数
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★と◆は整数とします。◆は７では割り切れません。このとき、５/★＋★/５＝◆/７となる◆のうち、最も小さい整数は[ ]です。
与えられた式の両辺に★×７をかけます。
３５＋★×★×７/５＝◆×★
３５と◆×★は整数だから、★×★×７/５も整数となります。
７と５は約分できないから、★×★が５と約分できることになり、★は５の倍数となります。
また、★×★×７/５と◆×★は★の倍数だから、３５も★の倍数、つまり、★は３５の約数となります。 ←★×７/５は整数だから、★×★×７/５＝★×（★×７/５）は当然★の倍数ですね。
結局、★は５か３５のいずれかとなります。
★が５のとき、与えられた式の左辺が整数となり、◆が７の倍数となってしまい、条件に反します。
★が３５のとき、与えられた式の左辺＝５/３５＋３５/５＝１/７＋７＝５０/７となり、◆＝５０となります（このとき、すべての条件を満たしていますね）。
