西大和学園中学校２０２６年東京・東海会場算数第１問（３）
- 平面図形 角度 面積比
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図において、角ＡＢＣと角ＢＣＤは９０°です。辺ＡＤの真ん中の点をＭ、辺ＡＣと辺ＢＭの交点をＮとします。このとき、印のついた角の大きさの和は[あ]です。また、三角形ＡＭＮの面積は[い]cm2です。
（前半）
ほんの数秒で答えが求められます。
図のように正方形ＡＢＣＥを復元します。 ←与えられた長さと角の大きさを考慮すれば正方形が隠されていることがすぐにわかりますね。印のついた角の大きさの和を求めるために印のついた角をくっつけようとしても正方形がほぼ自動的に登場しますね。
三角形ＢＣＤと三角形ＡＥＤは合同だから、印のついた角の大きさの和は、角ＥＡＣの大きさ、つまり４５度となります。
（後半）
２点ＮとＤを図のように結びます。
辺ＡＣと辺ＢＤが交わった点をＬとします。
三角形ＬＡＢと三角形ＬＣＤのちょうちょ相似（相似比はＡＢ：ＣＤ＝２：１）に着目すると、ＬＢ：ＬＤ＝２：１となります。
高さの等しい三角形の面積比が底辺の比と一致することを利用します。
三角形ＡＭＮの面積＝①とすると、三角形ＤＭＮの面積＝①×ＭＤ/ＡＭ＝①、三角形ＡＢＮの面積＝（①＋①）×ＬＢ/ＬＤ＝④、三角形ＢＤＮの面積＝④×ＭＤ/ＡＭ＝④となります。
三角形ＡＢＤの面積＝①＋①＋④＋④＝⑩となり、これが４×４×１/２＝８cm2に相当するから、三角形ＡＭＮの面積は８×①/⑩＝４/５cm2となります。
