東大寺学園中学校２０２６年算数第１問（３）
- 場合の数 条件の対等性 隣り合わない
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１、１、１、２、２、２、３の７つの数字を並べてできる７けたの数のうち、１２１２１２３のように、同じ数字が隣（とな）り合わあいものは全部で何個ありますか。
（解法１）
１と２が条件的に同じだから、条件の対等性を活かせる解き方をします。
１つだけある３の位置で場合分けして解きます。
（あ）３が端にあるとき
３□□□□□□（左右反転したものもあります。）
１と２を交互に並べることになるので、この場合は２×２＝４通りあります。
（い）３が端から２個目にあるとき
■３□□□□□（左右反転したものもあります。）
■を決めれば他は自動的に決まるので、この場合は２×２＝４通りあります。
（う）３が端から３個目にあるとき
■■３□□□□（左右反転したものもあります。）
■■も□□□□も１と２を交互に並べることになるので、この場合は２×２×２＝８通りあります。
（え）３が端から４個目にあるとき
■■■３□□□
■■■も□□□も１と２を交互に並べることになりますが、■■■を決めれば他は自動的に決まるので、この場合は２通りあります。
（あ）～（え）より、７桁の数は全部で４＋４＋８＋２＝１８個あります。
（解法２）
まず、１と２だけを並べます。
条件を満たす可能性があるのは、（ア）１と２がすべて隣り合わない場合と（イ）１と２のどちらかが１か所だけ隣り合う場合が考えられます。
（ア）の場合
１と２を交互に並べ、６個の数字の間と両端のいずれかに３を置くことになるから、この場合は２×７＝１４通りあります。
（イ）の場合
△〇△●△（△は１か２のいずれかで、〇と●は△で使わなかったほうの数で、●は〇〇です。左右反転したものもあります。）
３は〇〇の間に置くことになるから、この場合は２×２＝４通りあります。
（ア）、（イ）より、７桁の数は全部で１４＋４＝１８個あります。
